Índice
Definición
Dimensión
Producto por un escalar
Suma de matrices
Producto de matrices

Matrices: definición




Definición

Una matriz es un conjunto o tabla de elementos (números) de un cuerpo K (como los reales o los complejos) con un determinado orden. Se expresan de la forma

matriz

donde los elementos a i , j son elementos de K , que reciben el nombre de entrada ( i , j ) de la matriz, que representa la posición del elemento en la matriz: fila i , columna j .

De forma abreviada, la matriz se suele expresar como

Otra notación útil para las matrices es


Ejemplos de matrices
Matriz real de dimensión 3 x 3 Matriz compleja de dimensión 2 x 3


Dimensión

La dimensión de una matriz expresa el tamaño y forma de la matriz. La dimensión de una matriz

es m x n. De este modo sabemos el número de filas y de columnas.

Si m = n, diremos que la matriz es cuadrada, si no, que es rectangular.





A continuación se sefinen el producto por un escalar y producto y suma de matrices, que dan a las matrices cuadradas estructura de grupo.


Producto escalar

Dados una matriz A y un escalar b, se define el producto como

Es decir, el escalar multiplica a todas las entradas (elementos) de la matriz.

Ejemplo




Suma de matrices

Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m x n, se define su suma como

    La suma de matrices es

  • Conmutativa

  • Asociativa

  • Distributiva respecto del producto por un escalar

  • Distributiva respecto del producto de matrices

Ejemplos





Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B de dimensiones m x n y n x p, respectivamente, se define su producto como

Es decir, el elemento ( i , j ) del producto es el producto de los vectores fila i de A y columna j de B:

Es importante destacar que el número columnas de A es el mismo que el de filas de B.


    Propiedades:

  • El producto de matrices NO es conmutativo. Si las matrices no son cuadradas pero sus dimensiones son adecuadas para el producto A·B, el producto B·A ni si quiera se puede efectuar.
  • Es asociativo

  • Es distributivo (por la derecha) respecto de la suma

  • Es distributivo (por la izquierda) respecto de la suma

  • Tiene elemento neutro por ambos lados: la matriz identidad (todo ceros y unos en la diagonal) de dimensión adecuada

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