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Matrices Equivalentes

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Operaciones elementales fila
  3. Equivalencia entre matrices
  4. Forma escalonada de una matriz
  5. Forma escalonada reducida de una matriz

1. Introducción

Vamos a explicar por qué, entre otras razones, es tan importante la relación de equivalencia entre matrices.

Recordad que un sistema de ecuaciones lineales se puede representar en forma matricial como

Definimos las operaciones elementales fila para definir la equivalencia entre matrices. Definimos las formas escalonada y escalonada reducida, mostramos ejemplos y cómo obtener la forma escalonada reducida de una matriz. Matemáticas para bachillerato y universidad. Álgebra matricial. Matrices.

donde

  • \(A\) es la matriz de coeficientes de las incógnitas,
  • \(x\) es la matriz columna con las incógnitas,
  • \(b\) es la matriz columna con los términos independientes de las ecuaciones.

De hecho, podemos representar el sistema \(AX=b\) con una sola matriz: \(A^*\), llamada matriz ampliada o aumentada del sistema:

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La matriz ampliada es una matriz por bloques: contiene a la matriz \(A\) en el lado izquierdo y a la matriz \(b\) en el derecho.

Por ejemplo, consideremos el sistema de ecuaciones

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Su matriz ampliada es

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Consideremos ahora la matriz ampliada siguiente:

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Es la matriz ampliada del sistema

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Supongamos cierto el siguiente teorema:

Dos sistemas de ecuaciones lineales tienen la misma solución si, y sólo si, sendas matrices ampliadas son equivalentes. (*)

Entonces, si las matrices ampliadas \(A^*\) y \(Z^*\) son equivalentes (lo son), entonces ya tenemos la solución del sistema asociado a la matriz \(A^*\):

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Por tanto, si demostramos el teorema anterior (*), una forma de resolver un sistema con matriz ampliada \(A^*\) es hallar una matriz equivalente que nos proporcione rápidamente la solución del sistema, como \(Z^*\).

Este método de resolver un sistema es el método de Gauss y el de Gauss-Jordan (son variantes del mismo). Podéis encontrar ejemplos del método en:

Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan

2. Operaciones elementales fila

Más adelante, vamos a definir como matrices equivalentes a la matriz \(A\) a las matrices que se obtienen al realizar una o más operaciones elementales fila sobre \(A\).

Dada una matriz \(A\), las operaciones elementales fila son:

  • Multiplicar la fila \(s\) de \(A\) por un escalar \(a\) no nulo.

    Matriz de la operación: \(E^s (a)\). Es la matriz identidad pero con el escalar \(a\) en la posición \((s,s)\).

  • Sumar a la fila \(s\) de \(A\) la fila \(r\) de \(A\) multiplicada por un escalar \(a\).

    Matriz de la operación: \(E^s _r (a)\). Es la matriz identidad pero con el escalar \(a\) en la posición \((s,r)\).

  • Intercambiar las filas \(s\) y \(r\) de \(A\).

    Matriz de la operación: \(E^{s,r}\). Es la matriz identidad pero con las columnas \(s\) y \(r\) intercambiadas.

En cada una de las operaciones anteriores hemos definido una matriz (\(E^s (a)\), \(E^s _r (a)\) y \(E^{s,r}\)). Estas matrices se denominan matrices elementales. Si multiplicamos una de estas matrices por la matriz \(A\), se obtiene la matriz resultante al aplicar a \(A\) la operación elemental fila asociada a dicha matriz.

Por ejemplo, la matriz \(E^{s,r}·A\) es la matriz \(A\) con las filas \(s\) y \(r\) intercambiadas.

Ver ejemplo

Las matrices elementales son regulares.


3. Equivalencia entre matrices

Dos matrices de la misma dimensión, \(A\) y \(B\), son equivalentes si existe una matriz elemental fila (o producto de ellas), \(E\), tal que \(A = E·B\). Lo expresamos como \(A \sim B\).


Ver ejemplos


4. Forma escalonada de una matriz

Diremos que una matriz tiene forma escalonada si se cumplen las siguientes condiciones:

  • Si hay filas de ceros (filas nulas), son las últimas.
  • El primer elemento no nulo (de izquierda a derecha) de la primera fila, sólo tiene ceros debajo (a no ser que la matriz sea una única fila). Al primer elemento no nulo de la fila \(i\) se le llama elemento principal (o pivote) de la fila \(i\).
  • Si se cumplen las condiciones anteriores, la matriz que resulta al eliminar la primera fila y columna cumple las mismas condiciones.

Ver ejemplos

Toda matriz es equivalente a una matriz en forma escalonada.

Dicho en otras palabras, podemos transformar cualquier matriz en una matriz en forma escalonada mediante operaciones elementales fila.

Ver ejemplo

5. Forma escalonada reducida (FER)

Diremos que una matriz tiene forma escalonada reducida si se cumplen:

  • Tiene forma escalonada,
  • Todos los pivotes son el número 1 y por debajo de éstos sólo hay 0's,
  • El pivote de cada fila está a la izquierda de los pivotes de las filas inferiores.

En la forma escalonada reducida, un pivote es siempre 1 y suele llamarse "1 prinicipal".

El número de 1's principales de una matriz FER coincide con su rango.


Ver ejemplos

Teorema: toda matriz es equivalente a una única matriz en forma escalonada reducida.

Como una matriz \(A\) sólo es equivalente a una matriz con esta forma, suele llamarse "matriz FER de \(A\)" ó "\(FER(A)\)".

Obtención de la FER:

Podemos seguir los siguientes pasos para calcular la FER de una matriz:

  1. Escribimos todas las matrices nulas en las últimas filas.
  2. Si el primer elemento de la primera fila es 0, cambiamos la fila por otra cuyo primer elemento no sea 0. Si esto no es posible porque la primera columna es nula, consideramos que la primera columna no nula es la primera y volvemos a empezar desde 1, es decir, como si no tuviésemos la columna nula.
  3. Dividimos la primera fila por el primer elemento no nulo de dicha fila para convertirlo en un 1.
  4. Restamos a la fila i (todas excepto la primera) la primera fila multiplicada por el inverso del primer elemento de la fila i (si dicho elemento no es 0).
  5. Ahora tenemos un uno principal en la primera fila (por encima y por debajo tiene 0's). Volvemos a aplicar el método al resto de la matriz como si la primera fila y primera columna no estuviesen.

Podéis encontrar ejemplos en la página eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan



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