Matrices Equivalentes

Contenido de esta página:

  • Operaciones elementales fila

  • Matrices equivalentes

  • Forma escalonada de una matriz

  • Forma escalonada reducida de una matriz



Operaciones elementales fila

Llamamos operaciones elementales fila a las siguientes operaciones que son el resultado de multiplicar por la izquierda (premultiplicar) una matriz especial (matriz elemental):

  • Multiplicar la fila s por un escalar a no nulo

    operacion elementalfila

  • Sumar a la fila s la fila r multiplicada por el escalar a

    operacionelemental fila

  • Intercambiar las filas r y s

    operacion elemental fila

A cada una de estas matrices se le denomina elemental y al producto de matrices elementales también.


Las matrices elementales son regulares.



Matrices equivalentes, ~

Dos matrices de la misma dimensión, A y B, son equivalentes si existe una matriz elemental fila (o producto de ellas), E, tal que A = E·B. Lo expresamos como A ~ B

Ejemplos de matrices equivalentes
matrices equivalentes
matrices equivalentes
matrices equivalentes
matrices equivalentes


Forma escalonada de una matriz

Diremos que una matriz tiene forma escalonada si se cumplen las siguientes condiciones

  • Si hay filas de ceros (filas nulas), son las últimas.
  • El primer elemento no nulo de la primera fila (de izquierda a derecha) de la fila, sólo tiene elementos nulos debajo (a no ser que la matriz sea una única fila). Al primer elemento no nulo de la fila i se le llama elemento principal (o pivote) de la fila i.
  • Si se cumplen las condiciones anteriores, la matriz que resulta al eliminar la primera fila y columna cumple las mismas condiciones.

Ejemplo
La identidad es una matriz escalonada reducida. En particular, es una matriz en forma escalonada reducida.

Toda matriz es equivalente a alguna matriz en forma escalonada.



Forma escalonada reducida de una matriz ( FER )

Diremos que una matriz tiene forma escalonada reducida si tiene forma escalonada, todos los elementos principales de cada fila son 1 y, además, por arriba de éstos sólo hay ceros (le llamamos uno principal de la correspondiente fila). Además, el pivote de la fila i está a la izquierda del de la fila j si i < j.

TODA matriz A es equivalente a una ÚNICA matriz en forma escalonada reducida. Por la unicidad, a esta matriz en forma escalonada reducida (FER) se le llama FER(A).

Obtención

La forma escalonada de una matriz se puede obtener mediante operaciones elementales fila. Es recomdable seguir el siguiente orden:

  1. Escribimos las filas nulas al final.
  2. Si el primer elemento de la primera fila es 0, cambiamos la fila por otra cuyo primer elemento no sea 0. Si esto no es posible porque la primera columna es nula, considerando que la primera columna no nula es la primera y volvemos a empezar desde 1., es decir, como si no tuviésemos columnas nulas.
  3. Dividimos la primera fila por el primer elemento (supongamos que es el primero) de dicha fila que no sea nulo (para que éste sea 1).
  4. Restamos a la fila i (todas excepto la primera) la primera fila multiplicada por el inverso del primer elemento de la fila i (si dicho elemento no es 0).
  5. Ahora tenemos un uno principal en la primera fila. Volvemos a aplicar el método a la submatriz resultante al perder la primera fila y columna de la matriz.

Ejemplo de forma escalonada reducida
forma escalonada reducida de una matriz

El método de eliminación de Gauss para resolver matrices consiste precisamente en obtener la forma escalonada reducida de la matriz ampliada del sistema para obtener directamente los valores de las incógnitas. Por tanto, podemos tomar como ejemplos o ejercicios resueltos a este tipo de ejercicios: ejercicios resueltos de eliminación de Gauss



acceso al foro



Creative Commons License
Matesfacil.com by J. Llopis is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.