Límite de una función (definiciones), con ejemplos
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Límite de una función (definiciones)

En esta página definimos el límite de una función y vemos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones.

Nota: el contenido de esta página es teórica (definiciones bastante técnicas). Para límites resueltos (práctica), vean las páginas:

Contenido de esta página:

  1. Límite finito de una función
  2. Límite infinito de una función
  3. Ejemplos

Nota previa

Como las definiciones formales son distintas, tenemos que distinguir entre límites finitos e infinitos y límites cuando \(x\) tiende a un punto finito e infinito.

Las definiciones que proporcionamos no son únicas, así que podemos encontrar versiones parecidas. No obstante, el concepto es el mismo.

1. Límite finito de una función

Vamos a distinguir dos casos: cuando \(x\) tiende a un punto finito y cuando \(x\) tiende a infinito.

Cuando \(x\) tiende a un punto finito \(a\):

Dada una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), decimos que su límite es \(L\in\mathbb{R}\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\in\mathbb{R}\) si \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists \delta >0\) tal que \(|f(x)-L|< \varepsilon \) siempre que \(|x-a|< \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Interpretación:

Para todo \(\varepsilon > 0\), podemos encontrar un entorno del punto \(a\) tal que la diferencia de las imágenes de los puntos de dicho entorno es menor que \(\varepsilon\).

Dicho en otras palabras, la función toma valores tan próximos a \(L\) como queramos para algún entorno del punto \(x=a\).

Ver ejemplo

Cuando \(x\) tiende a infinito:

Decimos que su límite es \(L\in\mathbb{R}\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) si \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists K>0 \) tal que \(|f(x)-L|< \varepsilon \) siempre que \(x > K\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Análogamente, decimos que su límite es \(L\in\mathbb{R}\) cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) si \(\forall \varepsilon > 0\), \(\exists K<0\) tal que \(|f(x)-L|< \varepsilon \) siempre que \(x < K\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Nota: \(K\) es una constante dependiente de \(\varepsilon\) y realmente no es necesario exigir que sea positiva o negativa.

Ver ejemplo

2. Límite infinito de una función

También, distinguimos cuando \(x\) tiende a un punto finito y cuando tiende a infinito.

Cuando \(x\) tiende a un punto finito \(a\):

Dada una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), decimos que su límite es \(+\infty\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\in\mathbb{R}\) si \(\forall K \in\mathbb{R}\), \(\exists \delta >0\) tal que \(f(x)> K \) siempre que \(|x-a|< \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Análogamente, su límite es \(-\infty\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\in\mathbb{R}\) si \(\forall K\in\mathbb{R}\), \(\exists \delta >0\) tal que \(f(x)< K \) siempre que \(|x-a|< \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Interpretación:

La función toma valores tan grandes (primera definición) o tan pequeños (segunda definición) como queramos para algún entorno del punto \(x=a\).

Nota: la diferencia en las definiciones es que \(f(x)\) es mayor o menor que el número real \(K\) escogido.

Ver ejemplo

Cuando \(x\) tiende a infinito:

Dada una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), decimos que su límite es \(+\infty\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) si \(\forall K \in\mathbb{R}\), \(\exists \delta >0\) tal que \(f(x)> K \) siempre que \(x > \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Análogamente, su límite es \(-\infty\) cuando \(x\) tiende a \(+\infty\) si \(\forall K \in\mathbb{R}\), \(\exists \delta >0\) tal que \(f(x)< K \) siempre que \(x > \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Cuando \(x\) tiende a menos infinito:

Dada una función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), decimos que su límite es \(+\infty\) cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) si \(\forall K \in\mathbb{R}\), \(\exists \delta <0\) tal que \(f(x)> K \) siempre que \(x < \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Análogamente, su límite es \(-\infty\) cuando \(x\) tiende a \(-\infty\) si \(\forall K \in\mathbb{R}\), \(\exists \delta <0\) tal que \(f(x)< K \) siempre que \(x < \delta\). Lo denotamos por

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Ver ejemplo
X

3. Ejemplos

Límite 1

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Solución

Límite 2

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Solución

Límite 3

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Solución

Límite 4

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Solución

Límite 5

Definimos formalmente el límite de una función cuando x tiende a un punto finito o infinito. Proporcionamos algunos ejemplos, con las gráficas de las funciones. Cálculo de límites. Bachillerato y universidad. Matemáticas.

Solución




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