Indeterminación infinito partido infinito (\(\infty/\infty\))

Cuando \(x\) tiende a infinito (positivo o negativo), los polinomios tienden a infinito. Por tanto, la indeterminación infinito partido infinito aparece en el cociente de polinomios.

Por ejemplo,

• El del polinomio \(2x^3+1\) es \(2\).

• El del polinomio \(5x^2-x^3\) es \(-1\).

• El del polinomio \(x-3x^2-7\) es \(-3\).

Sea \(N(x)\) el polinomio del numerador con coeficiente principal \(n\) y grado \(g(N)\) y sea \(D(x)\) el polinomio del denominador con coeficiente principal \(d\) y grado \(g(D)\).

Entonces, el límite del cociente \(N(x)/D(x)\) es

Primer caso: si el grado del polinomio \(D(x)\) es mayor que el de \(N(x)\), el límite es 0.

Segundo caso: si los grados coinciden, el límite es el cociente de sus coeficientes principales.

Tercer caso: si el grado del polinomio \(N(x)\) es mayor que el de \(D(x)\), el límite es infinito, pero hay que tener en cuenta lo siguiente:

• Si \(x\) tiende a infinito positivo, el signo del infinito del límite es el signo de \(n/d\).

• Si \(x\) tiende a infinito negativo, el signo del infinito del límite es

  

  donde \(K\) es

  • \(+1\) si los grados de \(N(x)\) y \(D(x)\) son ambos pares o ambos son impares.
  • \(-1\) en caso contrario.

Nota: Puede ayudar escribir las potencias de los límites como veremos en los límites resueltos. Por ejemplo,

Los exponentes sólo los utilizamos para saber el signo del infinito.

En realidad, lo que se hace en la regla que hemos dado para el cociente de polinomios es comprar el crecimiento/decrecimiento de los polinomios. Éste depende del grado de los polinomios y de sus coeficientes directores.

Cuando tenemos el límite de un cociente de funciones no polinómicas, también evitamos la indeterminación \(\infty/\infty\) comparando el crecimiento de las funciones.

Por ejemplo, consideremos el siguiente límite:

Tanto numerador como denominador tienden a infinito, pero como el crecimiento de la exponencial es mucho mayor, el infinito del denominador es mayor. Por tanto, el límite se comporta de forma similar al cociente de polinomios con grado mayor en el denominador. Entonces,

Como regla general, el orden de crecimiento es

Por ejemplo,

Gráficas:

Por el contrario, si el numerador crece más rápidamente, el límite es infinito. Por ejemplo,

Nota: el infinito es negativo porque el grado del polinomio es par, su coeficiente principal es negativo y \(x\) tiende a \(-\infty\). El denominador no afecta al signo por ser positivo.

Cuando tenemos las indeterminaciones \(\infty/\infty\) ó \(0/0\), podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

siendo \(a\) un número finito o infinito.

Por ejemplo,

Derivamos el numerador y el denominador:

Aplicamos la regla:

La regla de los grados vista para calcular el límite (cuando \(x\) tiende a \(\pm\infty\)) es intuitiva, pero podemos demostrarla aplicando sucesivamente la regla de L'Hôpital.

Supongamos que tenemos el cociente de polinomios \(N(x)/D(x)\) con grados \(n\) y \(d\), siendo

De forma abreviada,

El límite cuando \(x\) tiende a \(\pm \infty\) es un cociente de infinitos, así que podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Las derivadas de los polinomios son

Es decir, los nuevos polinomios tienen un grado menos.

Como seguimos teniendo un cociente de infinitos, podemos volver a aplicar la regla hasta que se obtenga un polinomio de grado 0 en el numerador o el en el denominador.

Tenemos, pues, tres posibilidades:

• El polinomio del numerador y el del denominador tienen grado 0 (es decir, son un número real). En este caso, al simplificar, se tiene como resultado al cociente de los coeficientes principales de \(N(x)\) y de \(D(x)\). Esto ocurre cuando \(N(x)\) y \(D(x)\) tienen el mismo grado.

• El polinomio del numerador es de grado 0 y el del denominador no. En este caso, el límite es 0 (número entre infinito). Esto ocurre cuando el grado de \(D(x)\) es mayor.

• El polinomio del denominador es de grado 0 y el del numerador no. En este caso, el límite es infinito (infinito partido número) y el signo depende del cociente de coeficientes principales. Además, si \(x\to -\infty\), el signo del infinito también depende de la paridad del grado del numerador. Esto ocurre cuando el grado de \(N(x)\) es mayor.

Ejemplo: aplicamos L'Hôpital dos veces seguidas:

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito, pero como el grado del numerador es mayor,

Si sirve de ayuda, podemos escribir las potencias de infinitos:

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito, pero como los grados de los polinomios son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito, pero como el grado del denominador es mayor, el límite es \(0\):

En este límite es irrelevante que \(x\) tienda a infinito positivo o negativo ya que el resultado es 0.

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito, pero como los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales:

El resultado es el mismo si \(x\) tiende a infinito positivo.

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito.

Como el grado del numerador es mayor, el límite es infinito. Como el cociente de coeficientes es negativo y los exponentes son par e impar, el signo del infinito es positivo:

Si escribimos potencias de infinitos, tenemos

El cubo es negativo y el cuadrado es positivo, pero como hay un signo negativo delante del cubo, su resultado es positivo.

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito.

El grado del numerador es mayor, el cociente de los coeficientes es positivo y los exponentes son par e impar. Por tanto,

Si escribimos potencias de infinitos,

El grado del numerador es mayor, los exponentes son impares y el cociente de los coeficientes es positivo. Por tanto, el resultado es infinito positivo:

Si escribimos las potencias de infinitos,

Observad que, al ser los dos exponentes impares, las potencias son negativas. Estos signos se cancelan al ser iguales.

El grado del numerador es mayor, el cociente de los coeficientes principales es negativo y los grados son impares. Por tanto,

Si escribimos potencias de infinitos,

Como los grados son iguales, el límite es

Como el polinomio del denominador es de grado mayor,

Como grado del numerador es mayor y el cociente de los coeficientes principales es negativo,

Si escribimos potencias de infinitos,

Si desarrollamos las potencias, tendremos un polinomio de grado 6 en el numerador y uno de grado 4 en el denominador. Por tanto, el límite es infinito.

El monomio de grado mayor del numerador sería \(8x^6\) y el del denominador sería \(x^4\). Como los coeficientes son positivos, el infinito es positivo:

El grado del numerador es \(6\) y el del denominador es \(1\). El cociente de sus coeficientes es positivo y los exponentes son par e impar. Por tanto,

Como el grado del numerador es mayor, los grados son impar y par y el cociente de los coeficientes es negativo,

Si multiplicamos los polinomios, el monomio de grado mayor del numerador es \(6x^5\) y el del denominador es \(-5x^3\). Por tanto, el límite es

Tenemos la indeterminación infinito partido infinito, pero la función del denominador crece más rápidamente por ser una exponencial. Por tanto,

Los grados del numerador y denominador son iguales, pero hay una exponencial en el denominador. Por tanto,

También, podemos escribir la función como un producto:

El límite del factor de la izquierda tiende a 1/2 porque es un cociente de polinomios de igual grado. El límite del otro factor es 0 porque le denominador tiende a infinito.

Como el logaritmo de infinito es infinito, tenemos la indeterminación infinito partido infinito.

En un principio, el polinomio del denominador tiene más peso que un logaritmo, pero el logaritmo del numerador tiene una exponencial. Esto complica la comparación.

Como estamos trabajando con límites, cuando \(x\) es muy grande, la diferencia entre \(3^x\) y \(3^x+1\) es insignificante. Lo mismo ocurre con \(x\) y \(x+1\). Por esta razón, podemos omitir estos dos sumandos \(+1\):

De este modo, podemos aplicar las propiedades del logaritmo:

Si no vemos claro el razonamiento anterior, podemos proceder de otro modo más técnico, operando:

Tomando límites,

El límite del sumando de la derecha es 0 porque tenemos 0 entre infinito.

Como las exponenciales tienden a infinito, tenemos la indeterminación infinito partido infinito, pero como la base de la exponencial del denominador es mayor, prima. Por tanto, el límite es \(0\):

Otro modo de resolver el límite es dividir entre la exponencial de mayor base (\(3^x\)):

Como \(2/3\) es menor que \(1\), sus potencias tienden a \(0\):

El límite de las otras fracciones es

Por tanto,

Tenemos un cociente de infinitos. Podemos razonar del mismo modo que hacemos con los cocientes de polinomios.

Si pensamos en las raíces como potencias, los monomios principales de los polinomios son

Los dos grados son iguales, por tanto,

Se ve claramente que el límite es -1, pero como tenemos la indeterminación infinito entre infinito, podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

Como seguimos teniendo la misma indeterminación, aplicamos la regla de nuevo:

Tenemos la indeterminación infinito dividido infinito, así que podemos aplicar la regla de L'Hôpital:

El límite es \(0\) porque el grado del polinomio del denominador es mayor.

También, podemos calcular el límite rápidamente sin aplicar la regla. Cuando \(x\) es grande, podemos cambiar el logaritmo de \(x^2+1\) por el de \(x^2\):

El límite es \(0\) porque la raíz crece más rápido que el logaritmo.