Indeterminación infinito partido infinito, con límites resueltos
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Indeterminación infinito partido infinito (\(\infty/\infty\))

En esta página hablamos sobre la indeterminación infinito partido infinito (\(\infty/\infty\)), viendo ejemplos y técnicas para evitar esta indeterminación, incluida la regla de L'Hôpital.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Cociente de polinomios
  3. Cociente de funciones no polinómicas
  4. Regla de L'Hôpital
  5. Demostración de la regla para el cociente de polinomios
  6. Límites resueltos

1. Introducción

Recordamos que una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano.

Por ejemplo, consideremos las dos siguientes funciones, que son cocientes de polinomios:

Resolvemos límites con la indeterminación infinito partido infinito, especialmente, límites de cocientes de polinomios. Proporcionamos la regla para calcular el límite del cociente de polinomios (y su demostración) y otras técnicas. Cálculo de límites con indeterminaciones. Bachillerato. Matemáticas. Límites resueltos y explicados.

En ambas funciones, tanto numerador como denominador tienden a infinito (cuando \(x\to +\infty\)), así que su límite es un cociente de infinitos (\(\infty/\infty\)). Sin embargo, el límite de \(f\) es \(0\) y el de \(g\) es \(2\).

Las gráficas de ambas funciones son

Resolvemos límites con la indeterminación infinito partido infinito, especialmente, límites de cocientes de polinomios. Proporcionamos la regla para calcular el límite del cociente de polinomios (y su demostración) y otras técnicas. Cálculo de límites con indeterminaciones. Bachillerato. Matemáticas. Límites resueltos y explicados.

Por tanto, con este ejemplo queda claro que no podemos obtener una regla para la operación \(\infty/\infty\) (como sí existe, por ejemplo, \(k/\infty = 0\) siendo \( k\in\mathbb{R}\)).

La indeterminación infinito dividido infinito es una de las que más aparece en el cálculo de límites, así que tenemos bastantes procedimientos para evitarlas, dependiendo del tipo de cociente que tengamos en cada caso.

En esta página vamos a resolver límites con la indeterminación \(\infty/\infty\), siendo la mayoría límites de cocientes de polinomios.

2. Cociente de polinomios

Reglas para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando \(x\to +\infty\) y cuando \(x\to -\infty\).

Ver reglas y ejemplo

3. Cociente de funciones no polinómicas

Criterio de comparación para calcular límites de cocientes de funciones no polinómicas.

Ver criterio y ejemplos

4. Regla de L'Hôpital

Mostrar texto

5. Demostración de la regla para el cociente de polinomios

Demostración mediante L'Hôpital de la regla para calcular el límite cuando \(x\to \pm\infty\) de un cociente de polinomios.

Ver demostración
X

6. Límites resueltos

Primero, resolvemos 15 límites de cocientes de polinomios. Después, 5 límites con otro tipo de cocientes. Finalmente, resolvemos 2 límites por la regla de L'Hôpital (más ejemplos en regla de L'Hôpital).

Cocientes de polinomios

Recordad que el razonamiento cambia un poco cuando \(x\to -\infty\), así que es es lo primero que hay que tener en cuenta. En la mayoría de los límites con \(x\to -\infty\), escribiremos, también, las potencias de infinitos para ver claramente el signo del resultado.

Límite 1

Resolvemos límites con la indeterminación infinito partido infinito, especialmente, límites de cocientes de polinomios. Proporcionamos la regla para calcular el límite del cociente de polinomios (y su demostración) y otras técnicas. Cálculo de límites con indeterminaciones. Bachillerato. Matemáticas. Límites resueltos y explicados.

Solución

Límite 2

Resolvemos límites con la indeterminación infinito partido infinito, especialmente, límites de cocientes de polinomios. Proporcionamos la regla para calcular el límite del cociente de polinomios (y su demostración) y otras técnicas. Cálculo de límites con indeterminaciones. Bachillerato. Matemáticas. Límites resueltos y explicados.

Solución

Límite 3

Resolvemos límites con la indeterminación infinito partido infinito, especialmente, límites de cocientes de polinomios. Proporcionamos la regla para calcular el límite del cociente de polinomios (y su demostración) y otras técnicas. Cálculo de límites con indeterminaciones. Bachillerato. Matemáticas. Límites resueltos y explicados.

Solución

Límite 4

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Solución

Límite 5

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Solución

Límite 6

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Solución

Límite 7

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Solución

Límite 8

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Solución

Límite 9

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Solución

Límite 10

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Solución

Límite 11

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Límite 12

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Solución

Límite 13

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Solución

Límite 14

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Límite 15

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Solución

Límites de otros tipos de cocientes

En los siguientes 5 límites vamos a comparar el crecimiento de las funciones.

Límite 16

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Límite 17

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Solución

Límite 18

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Límite 19

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Límite 20

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Límites por L'Hôpital

Límite 21

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Solución

Límite 22

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