Indeterminación 1 elevado a infinito, con límites resueltos
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Indeterminación 1 elevado a infinito (1)

En esta página hablamos sobre la indeterminación uno elevado a infinito (\(1^\infty\)), viendo ejemplos y una fórmula para evitar esta indeterminación.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Fórmula para evitar la indeterminación
  3. Primeros ejemplos
  4. Demostración de la fórmula
  5. Método alternativo
  6. Transformación en cociente
  7. Límites resueltos

1. Introducción

Recordamos que una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano.

Por ejemplo, la indeterminación \(1^\infty \) aparece en los siguientes límites:

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Sin embargo, el resultado de estos límites es distinto:

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Con estos ejemplos queda claro que \(1^\infty \) es una forma indeterminada o indeterminación.

2. Fórmula para evitar la indeterminación

Existe una fórmula que permite evitar la indeterminación \(1^\infty\).

Si el límite de la función \(f(x)\) es \(1\) y el de \(g(x)\) es \(\infty\), tenemos la indeterminación \(1^\infty\) en el límite de \(f(x)^{g(x)}\):

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

En este caso, aplicamos la siguiente fórmula:

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Como vamos a trabajar en el exponente de la función exponencial, en adelante, para ver claramente el exponente, utilizaremos la notación \(exp\{h(x)\}\):

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Con esta notación, la fórmula anterior es

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Nota: \(A\) puede ser un número finito o \(\pm \infty\).

3. Primeros ejemplos

Resolvemos los dos límites que vimos en la introducción aplicando la fórmula.

1. \( \lim_{x\to +\infty} \left( 1-\frac{1}{x}\right)^x\)

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2. \( \lim_{x\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{x}\right)^x\)

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4. Demostración de la fórmula

Demostración intuitiva de la fórmula para la indeterminación \(1^\infty\).

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5. Método alternativo

Método alternativo para evitar la indeterminación \(1^\infty\).

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6. Transformación en cociente

Transformación de \(1^\infty\) en \(0/0\) y \(\infty/\infty\).

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X

7. Problemas resueltos

Límite 1

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Solución

Límite 2

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Solución

Límite 3

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Solución

Límite 4

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Solución

Límite 5

Límites resueltos con la indeterminación 1 elevado a infinito. Fórmula (con demostración), método alternativo y transformación en otra indeterminación para aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites paso a paso. Matemáticas. Bachillerato y universidad.

Solución



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