Indeterminación 1 elevado a infinito (1^∞)

Como la fracción \(1/x\) tiende a \(0\), tenemos la indeterminación \(1^\infty\):

Aplicamos la fórmula:

Tenemos la indeterminación \(1^\infty\), así que aplicamos la fórmula:

Una de las formas de definir el número \(e\) es hacerlo como un límite:

Este resultado nos permite resolver límites parecidos:

Por ejemplo,

También, podemos hacerlo para un límite cuando \(x\) tiende a un punto finito:

Y, especialmente, nos permite demostrar la fórmula que empleamos para evitar la indeterminación \(1^\infty\).

Operando un poco, es fácil ver la siguiente igualdad:

Por tanto, siguiendo el razonamiento anterior, si \(f\) tiende a \(1\) y \(g\) tiende a \(\infty\), tenemos

Entonces,

Otra forma de evitar la indeterminación sin aplicar la fórmula es operar en el límite para conseguir que tenga la siguiente forma:

El límite puede ser con \(x\to A\) siempre que \(h(x)\) tienda a \(\infty\) cuando \(x\to A\).

Por ejemplo, vamos a calcular el siguiente límite:

Reescribimos la fracción (sumando y restando 1):

Escribimos la fracción como una fracción con numerador igual a 1:

El exponente tiene que ser igual que el denominador de la fracción anterior:

Ya podemos calcular el límite:

Obviamente, es mucho más rápido aplicar la fórmula que vimos:

Sólo podemos aplicar la regla de L'Hôpital cuando tenemos las indeterminaciones \(0/0\) y \(\infty/\infty\). Por tanto, si transformamos la indeterminación \(1^\infty\) en una de estas dos, podemos aplicar dicha regla.

Supongamos que \(f(x)\) tiende a \(1\) y \(g(x)\) tiende a \(\infty\) y queremos calcular el límite

Recordad la siguiente propiedad de los logaritmos:

Por tanto,

Ahora solo tenemos que escribir el exponente como un cociente:

O bien,

Tenemos la indeterminación \(1^\infty\), así que aplicamos la fórmula:

Podemos simplificar el exponente:

Calculamos el límite:

Como la fracción tiende a 1, tenemos la indeterminación \(\infty ·0\). Sin embargo, si introducimos la \(x\) en el logaritmo, tenemos la indeterminación \(1^\infty\):

Aplicamos la fórmula para calcular el límite del argumento del logaritmo:

El límite del exponente es \(0\) porque el grado del polinomio del denominador es mayor.

Por tanto,

Tenemos la indeterminación \(1^\infty\) al escribir la raíz como una potencia:

Aplicamos la fórmula:

La exponencial tiende a infinito, así que tenemos la indeterminación \(1^\infty\):

El límite del exponente (de la fracción) es 0 porque la exponencial \(2^x\) crece más rápido que \(x\).

Observad que \(x\) tiende a infinito negativo, así que

El signo del infinito es irrelevante (en la indeterminación).

Aplicamos la fórmula:

Como \(x\) tiende a \(-\infty\), tenemos una indeterminación en el exponente:

Podemos evitarla cambiando el signo del límite:

Por tanto,