Indeterminación infinito elevado a 0, ∞⁰

Normalmente, para resolver límites que presentan la indeterminación \(\infty^0\), se reescribe la función de forma que se obtenga la indeterminación \(\infty/\infty\) ó \(0/0\) para poder aplicar la regla de L'Hôpital.

Supongamos que la función \(f\) tiende a \(\infty\) y la función \(g\) tiende a 0:

Entonces, tenemos la indeterminación \(\infty^0\) en el límite de \(f^g\):

Aplicando \(e^{ln(A)}=A\), tenemos

Transformación para obtener la indeterminación \(\infty/\infty\):

Transformación para obtener la indeterminación \(0/0\):

Como la fracción \(1/x\) tiende a 0, tenemos la indeterminación infinito elevado a 0.

Transformamos en \(0/0\):

Transformamos en \(\infty/\infty\):

Aplicamos la regla de L'Hôpital en la segunda (porque es más fácil de derivar):

Por tanto,

Tenemos la indeterminación infinito elevado a 0.

Transformamos en \(0/0\):

Transformamos en \(\infty/\infty\):

Aplicamos la regla de L'Hôpital en la segunda:

Para ver claramente que el límite es 1, se puede aplicar la regla otra vez:

Por tanto,

Tenemos la indeterminación infinito elevado a 0, pero el límite es fácil de resolver teniendo en cuenta que

Como

Aplicando las propiedades de los logaritmos y de las potencias,

Por tanto,

Tenemos la indeterminación infinito elevado a 0.

Transformamos en \(0/0\):

Transformamos en \(\infty/\infty\):

Aplicamos la regla de L'Hôpital en la segunda:

Aplicamos L'Hôpital una vez más:

Por tanto,

Tenemos la indeterminación infinito elevado a 0.

Transformamos en \(\infty/\infty\):

Operando un poco, evitamos aplicar L'Hôpital:

Por tanto,