Límites laterales, con problemas resueltos
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Límites laterales

En esta página explicamos el concepto de límite lateral de una función con ejemplos y resolvemos algunos problemas relacionados.

Contenido de esta página:

  1. Límites laterales
  2. Ejemplos de límites laterales distintos
  3. Problemas resueltos

1. Límites laterales

Conviene recordar el concepto de límite:

Decimos que la función \(f(x)\) tiende a \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\) (o que el límite de \(f(x)\) en \(a\) es \(L\)) si la función \(f(x)\) toma valores cada vez más próximos a \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\). Lo expresamos mediante

Explicamos el concepto de límite lateral de una función con ejemplos y resolvemos algunos problemas relacionados. También, proporcionamos la definición formal de límite lateral. Límite por la izquierda y por la derecha. Funciones racionales y funciones definidas a trozos o por partes. Cálculo de límites. Límites resueltos. Matemáticas. Secundaria, bachillerato y universidad.

Ver definición formal


El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que \(x\) se aproxima al punto \(a\) por su derecha o por su izquierda.

Por ejemplo, consideremos la función \(f(x)=1/x\) y que queremos calcular su límite en 0, es decir, el límite

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Cuando \(x\) toma valores cercanos a 0 por su derecha, \(f(x)\) toma valores positivos grandes:

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Deducimos que el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 0 por la derecha es infinito positivo:

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Sin embargo, si \(x\) se aproxima por la izquierda de 0, \(f(x)\) toma valores muy pequeños:

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Por tanto, el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 0 por la izquierda es infinito negativo:

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Gráfica de la función:

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Lógicamente, si una función \(f(x)\) tiende a puntos distintos cuando \(x\) se aproxima por la izquierda y por la derecha de \(a\), no tiene sentido hablar del límite de \(f(x)\) en \(a\). En este caso, decimos que el límite no existe:

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El límite de una función \(f(x)\) es igual a \(L\) si, y sólo sí, existen sus límites laterales y coinciden:

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Por ejemplo, el límite cuando \(x\) tiende a 0 de \(g(x) = 1/x^2\) existe y es infinito positivo:

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Gráfica de la función:

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Definición formal de límite lateral:

Ver definición formal


Obviamente, no tiene sentido pensar en límites laterales cuando \(x\) tiende a infinito (positivo o negativo).

Nota: en esta página decimos que un límite no existe sólo cuando no coincide con sus límites laterales, pero algunos matemáticos también consideran que el límite no existe si es infinito.

Nota 2: las definiciones de límite cambian ligeramente cuando \(L\) es infinito.

2. Ejemplos de límites laterales distintos

Ejemplo 1

La función logaritmo está definida para los reales positivos. Por tanto, podemos calcular su límite por la derecha de 0, pero no por su izquierda:

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Gráfica:

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Ejemplo 2

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.

Por ejemplo,

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Gráfica:

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Los límites laterales sí coinciden en el caso de la función \(g(x) = |f(x)|\):

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Ejemplo 3

En las funciones definidas a trozos, es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.

Por ejemplo, sea la función

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Los límites laterales en 0 son

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Gráfica:

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Recordad que una función es continua en un punto \(a\) si su límite en \(a\) coincide con \(f(a)\). Como consecuencia, sus límites laterales coinciden.

Por tanto, los puntos candidatos a límites laterales distintos que hemos visto son

  • Puntos de discontinuidad

  • Puntos donde cambia la definición

  • Puntos donde no está definida la función

X

3. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular los siguientes límites laterales:

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Solución

Problema 2

Calcular los siguientes límites laterales:

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Solución

Problema 3

Calcular el siguiente límite

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siendo

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Solución

Problema 4

Calcular el siguiente límite

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siendo

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Solución



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