Límites laterales

En esta página explicamos el concepto de límite lateral de una función con ejemplos y resolvemos algunos problemas relacionados.

Contenido de esta página:

• Límites laterales
• Ejemplos de límites laterales distintos
• Problemas resueltos

Concepto de límite

Decimos que la función \(f(x)\) tiende a \(L\) cuando \(x\) tiende a \(a\) (o que el límite de \(f(x)\) en \(a\) es \(L\)) si la función \(f(x)\) toma valores cada vez más próximos a \(L\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\). Lo expresamos mediante

Por ejemplo, el límite cuando \(x\) tiende a 0 de \(g(x) = 1/x^2\) es infinito positivo, porque cuanto más se aproxima \(x\) a \(0\), \(g(x)\) toma valores más grandes:

Gráfica de la función:

Definición formal de límite

Más información y ejemplos de límites.

---

Concepto de límite lateral

El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que \(x\) se aproxima al punto \(a\) por su derecha o por su izquierda.

Por ejemplo, consideremos la función \(f(x)=1/x\) y que queremos calcular su límite en 0, es decir, el límite

Cuando \(x\) toma valores cercanos a 0 por su derecha, \(f(x)\) toma valores positivos grandes:

Deducimos que el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 0 por la derecha es infinito positivo:

Sin embargo, si \(x\) se aproxima por la izquierda de 0, \(f(x)\) toma valores muy pequeños:

Por tanto, el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a 0 por la izquierda es infinito negativo:

Gráfica de la función:

Lógicamente, si una función \(f(x)\) tiende a puntos distintos cuando \(x\) se aproxima por la izquierda y por la derecha de \(a\), no tiene sentido hablar del límite de \(f(x)\) en \(a\). En este caso, decimos que el límite no existe:

Por ejemplo, el límite cuando \(x\) tiende a 0 de \(g(x) = 1/x^2\) sí existe y es infinito positivo, como vimos anteriormente.

Definición formal de límite lateral

---

Obviamente, no tiene sentido pensar en límites laterales cuando \(x\) tiende a infinito (positivo o negativo).

Nota: en esta página decimos que un límite no existe sólo cuando no coincide con sus límites laterales, pero algunos matemáticos también consideran que el límite no existe si es infinito.

Nota 2: las definiciones formales de límite cambian ligeramente cuando \(L\) es infinito.

Ejemplo 1

La función logaritmo está definida para los reales positivos. Por tanto, podemos calcular su límite por la derecha de 0, pero no por su izquierda:

Gráfica:

Ejemplo 2

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.

Por ejemplo,

Gráfica:

Los límites laterales sí coinciden en el caso de la función \(g(x) = |f(x)|\):

Ejemplo 3

En las funciones definidas a trozos, es habitual que no coincidan los límites laterales en los puntos donde cambia la definición.

Por ejemplo, sea la función

Los límites laterales en 0 son

Gráfica:

---

Recordad que una función es continua en un punto \(a\) si su límite en \(a\) coincide con \(f(a)\). Como consecuencia, sus límites laterales coinciden.

Problema 1

Calcular los siguientes límites laterales:

Si sustituimos \(x\) por \(2\) en el límite, tenemos

El límite es infinito, pero puede ser positivo o negativo. El signo depende de si \(x\) se aproxima por la derecha o por la izquierda de 2. Si lo hace por la derecha, toma valores mayores que 2 y, por tanto, como su cuadrado es mayor que 4, el denominador es negativo:

En cambio, si se aproxima a 2 por su izquierda, el denominador es positivo:

Como consecuencia, no existe el límite en \(x=2\).

Gráfica:

Observad en la gráfica que tampoco existe el límite en -2.

---

Problema 2

Calcular los siguientes límites laterales:

Razonamos del mismo que en el problema anterior:

Si \(x\) se aproxima por la derecha de \(0\),

Si \(x\) se aproxima por la izquierda de \(0\),

Por tanto, no existe el límite en \(x=0\).

Gráfica:

---

Problema 3

Calcular el siguiente límite

siendo

La definición de la función cambia en el punto \(x=2\). Esto significa que hay que utilizar una u otra expresión según si \(x\) toma valores por la derecha o la izquierda de \(2\).

El límite por la izquierda es

El límite por la derecha es

Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite de la función en \(x=2\):

Como consecuencia, la función no es continua en dicho punto.

Gráfica:

---

Problema 4

Calcular el siguiente límite

siendo

La definición de la función cambia en el punto \(x=-1\).

El límite por la izquierda es

El límite por la derecha es

Como los límites laterales coinciden, sí existe el límite de la función en \(x=-1\):

Como, además, el límite coincide con \(f(-1)\), la función es continua en dicho punto (y en todos los demás).

Gráfica:

---