Indeterminación cero partido cero (0/0), con límites resueltos
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Indeterminación cero partido cero (0/0)

En esta página hablamos sobre la indeterminación cero partido cero (0/0), viendo ejemplos y técnicas para evitar esta indeterminación (incluida la regla de L'Hôpital).

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Técnicas básicas
  3. Regla de L'Hôpital
  4. Problemas resueltos (límites resueltos)

1. Introducción

Recordamos que una indeterminación o forma indeterminada es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de límites y cuyo resultado no se puede conocer de antemano.

Por ejemplo, el límite de una función que tiende a \(3/0\) es \(\infty\). Sin embargo, el límite de una función que tiende a \(0/0\) puede tomar distintos valores. Por esta razón, decimos que \(0/0\) es una forma indeterminada o una indeterminación.

En esta página vamos a ver ejemplos de límites con esta indeterminación, pero cuyo resultado es distinto.

2. Técnicas básicas

La indeterminación \(0/0\) aparece en cocientes de funciones que normalmente se pueden simplificar, evitando así la indeterminación.

Por ejemplo,

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El cociente de ceros aparece en este límite porque 1 es una raíz de ambos polinomios. Como se trata de una raíz común, si factorizamos los polinomios, podemos simplificar el cociente:

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Así, se evita la indeterminación:

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3. Regla de L'Hôpital

La indeterminación 0 dividido entre 0 es una de las dos indeterminaciones para las que se puede aplicar la regla de L'Hôpital:

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siendo \(a\) un número finito o infinito.

La otra indeterminación para la que se puede aplicar la regla es \(\infty/\infty\).

Por ejemplo,

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Como la derivada del seno es el coseno y la derivada de \(x\) es \(1\), aplicando L'Hôpital tenemos que el límite anterior es \(1\):

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Calcular este límite sin aplicar la regla de L'Hôpital es más complicado (problema 10).

X

4. Problemas resueltos

Nota previa: en algunos problemas (pocos) se pide aplicar la regla de L'Hôpital.

Problema 1

Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Solución

Problema 2

Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Solución

Problema 3

Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Problema 4

Calcular los siguientes límites sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Problema 5

Calcular el siguiente límite aplicando la regla de L'Hôpital:

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Solución

Problema 6

Calcular el siguiente límite aplicando la regla de L'Hôpital:

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Solución

Problema 7

Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Problema 8

Calcular el siguiente límite:

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Problema 9

Calcular el siguiente límite aplicando y sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Problema 10

Calcular el siguiente límite sin aplicar la regla de L'Hôpital:

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Solución

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