Indeterminación cero partido cero (0/0)

Los dos polinomios se anulan en el punto \(x=3\), así que tenemos la indeterminación 0 partido 0.

Vamos a escribirlos de forma factorizada para simplificar.

Polinomio del numerador

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Por tanto,

Polinomio del denominador

Podemos extraer \(x\) como factor común:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Por tanto,

Simplificamos el cociente de polinomios:

Finalmente, calculamos el límite sustituyendo \(x\) por \(3\):

Tenemos la indeterminación 0 partido 0.

Como en el denominador tenemos una resta con una raíz, multiplicamos y dividimos la fracción por el conjugado del denominador:

Nota*: hemos utilizado el producto notable suma por diferencia.

Por tanto, el límite es

Este límite es muy parecido al anterior. Realizando las mismas operaciones, llegamos a

Por tanto, el límite es

Como el valor absoluto de \(0\) es \(0\), tenemos la indeterminación 0 dividido entre 0 en ambos límites.

Recordamos que valor absoluto de \(x\), \(|x|\), es \(x\) si \(x\geq 0\) y es \(-x\) si \(x< 0\):

Como el límite es cuando \(x\) tiende a \(0\), si \(x\) se aproxima a \(0\) por la izquierda, \(x\) es negativo y, si \(x\) se aproxima a \(0\) por la derecha, \(x\) es positivo. Por tanto, tenemos que calcular los límites laterales.

Límite por la derecha:

Límite por la izquierda:

Como los límites laterales no coinciden, no existe el límite:

La gráfica de la función es

Para calcular el otro límite, razonamos del mismo modo.

Límite por la derecha:

Límite por la izquierda:

Nota: como el límite es por la izquierda, la fracción \(1/x\) tiende a \(-\infty\). Pero como la fracción tiene un signo negativo delante, el límite es infinito positivo.

Como los dos límites laterales existen y coinciden,

La gráfica de la función es

El logaritmo de \(1\) es \(0\), así que tenemos la indeterminación 0 entre 0. Podemos aplicar la regla de L'Hôpital.

Derivamos el numerador y el denominador:

Calculamos el límite:

Aplicamos la regla de L'Hôpital para resolver la indeterminación 0 partido 0.

Derivamos el numerador:

Derivamos el denominador:

Calculamos el límite:

Tenemos la indeterminación 0 partido 0, pero podemos simplificar la fracción (escribiendo el cociente de raíces como la raíz del cociente y factorizando los polinomios):

Por tanto, el límite es

Tenemos la indeterminación 0 entre 0, pero podemos evitarla fácilmente aplicando las propiedades de los logaritmos:

El resultado es infinito porque la función tiende a \(ln(3)/0\). Además, el infinito es positivo porque el denominador \(x^2\) siempre lo es.

Nota: si en lugar de \(x^3\) tenemos \(x^2\), el límite es infinito positivo por la derecha de 0 e infinito negativo por la izquierda.

Sin aplicar L'Hôpital

El numerador tiende a \(0\) porque es la potencia \(2^{-\infty}\) y la fracción \(1/x\) también tiende a \(0\). Por tanto, tenemos la indeterminación 0 dividido entre 0, aunque podemos operar un poco en la función:

La función \(\sqrt{x}\) es una función que crece muy lentamente, por ejemplo,

Sin embargo, la función exponencial crece muy rápido:

Esto significa que la fracción del límite tiene el denominador mayor que el numerador, siendo la diferencia mayor cuando \(x\) crece. Por tanto, esta fracción es un número pequeño que decrece a medida que \(x\) aumenta.

Es decir, el límite es \(0\):

Aplicando L'Hôpital

Podemos aplicar L'Hôpital para salvar las indeterminaciones \(0/0\) y \(\infty/\infty\):

El límite es \(0\) porque tenemos en el denominador un producto de infinitos (cuyo resultado es infinito) y un real distinto de 0 en el numerador (\(0/\infty = 0\)).

Cuando \(x\) toma valores positivos y pequeños, se cumple la relación

Gráficas:

Por tanto, dividiendo entre el seno de \(x\) (es positivo para \(x\) pequeño y positivo),

Aplicamos límites en la relación:

Por tanto, el límite es 1:

(Teorema del emparedado o del sándwich).