Indeterminación o forma indeterminada (límites)
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Indeterminación o forma indeterminada

En esta página explicamos qué es una indeterminación matemática, calculamos algunos límites que presentan indeterminaciones y proporcionamos las transformaciones que permiten aplicar la regla de L'Hôpital.

Contenido de esta página:

  1. Introducción
  2. Indeterminación
  3. Ejemplos
  4. Transformaciones para aplicar L'Hôpital

1. Introducción

Recordamos el concepto intuitivo de límite:

Sea \(f(x)\) una función y sea \(a\) un punto, el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) tiende a \(a\) es el valor al que se aproxima \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a \(a\).

Por ejemplo, el límite de \(f(x) = x^2\) cuando \(x\) tiende a 2 es 4:

Explicamos qué es una indeterminación matemática, calculamos algunos límites que presentan indeterminaciones y proporcionamos las transformaciones que permiten aplicar la regla de L'Hôpital. Cálculo de límites. Indeterminación o forma indeterminada.

Podemos dar valores a \(x\) cercanos a 2 por su izquierda:

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Y por su derecha,

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Observamos que, cuanto más se aproxima \(x\) a 2, más se aproxima \(f(x)\) a 4 (por ambos lados). Por tanto, el límite de \(f(x)\) en \(x=2\) es 4.

En realidad, también podemos calcular el límite anterior sustituyendo \(x=2\) en el límite:

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Nota: no siempre el límite de \(f(x)\) en \(x=a\) coincide con \(f(a)\).

2. Indeterminación

Supongamos que queremos calcular el siguiente límite:

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Si sustituimos \(x\) por \(1\), obtenemos la expresión \(0/0\):

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Obviamente, este resultado no tiene sentido matemáticamente.

Algo parecido ocurre al calcular el límite siguiente:

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Sin embargo, hay una diferencia sustancial entre ambos resultados: podemos asegurar el resultado de todos los límites en los que aparece \(1/0\) es \(+\infty\), pero no podemos predecir el resultado de los límites en los que aparece \(0/0\).

Por ejemplo,

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Por tanto,

Una indeterminación matemática es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de los límites y cuyo resultado no se puede predecir.

Cuando aparece una indeterminación en un límite, el límite depende de la propia función. Esto conlleva que, aunque aparezca la misma indeterminación, el límite puede ser distinto para funciones distintas.

Las indeterminaciones son las 7 siguientes expresiones:

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Para las demás expresiones que involucran infinito o partido cero, existen reglas como las siguientes:

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Más reglas en cálculo de límites.

3. Ejemplos

Ejemplos de límites que presentan indeterminaciones.

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4. Transformaciones para aplicar L'Hôpital

En ninguno de los ejemplos anteriores hemos aplicado la regla de L'Hôpital, pero podemos hacerlo.

La regla de L'Hôpital es un teorema que permite calcular límites en los que aparece la indeterminación \(0/0\) ó \(\infty/\infty\). Sólo tenemos que derivar numerador y denominador:

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Por ejemplo,

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Como existen otras 5 indeterminaciones además de estas dos, una técnica para poder aplicar L'Hôpital en estas indeterminaciones es reescribir la función del límite de modo que aparezca un cociente de ceros o de infinitos.

Para abreviar, escribimos \(f\) y \(g\) en lugar de \(f(x)\) y \(g(x)\).

Infinito elevado a 0:

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0 por infinito:

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Infinito menos infinito:

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0 elevado a 0:

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1 elevado a infinito:

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No olvidéis que tenemos una fórmula para esta indeterminación:

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