Determinante, Rango y Menores

Contenido de esta página:

  1. Introducción

  2. Cálculo del Determinante según su dimensión

  3. Propiedades de la función Determinante

  4. Rango y menores principales

  5. Teorema de Rouché-Frobenius


1. Introducción

La función determinante de una matriz nos permite saber rápidamente si una matriz cuadrada es regular (invertible) y clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según el tipo de sus soluciones: Teorema de Rouché-Frobenius.

La definición formal de la función determinante no es demasiado intuitiva (se basa en permutaciones). De hecho, no se utiliza a la hora de calcular el determinante de una matriz. Para ello disponemos de varios métodos o reglas según la dimensión de la matriz.

2. Cálculo de Determinantes

Determinante de dimensión 1x1

Sea A una matriz de dimensión 1x1, entonces es de la forma

matriz de dimensión 1

Se define (o calcula) su determinante como:

determinante de dimensión 1


Determinante de dimensión 2x2

Sea A una matriz de dimensión 2x2, entonces es de la forma

matriz de dimensión 2x2

Se define su determinante como:

regla determinanate de dimensión 2x2

Puede servir como regla mnemotécnica

diagrama de determinante dimensión 2x2

Ejemplo:

ejemplo de determinante de dimensión 2


Determinante de dimensión 3x3

Sea A una matriz de dimensión 3x3, entonces es de la forma

matriz de dimensión 3x3

Se define su determinante como:

definición regla de Sarrus

La fórmula anterior se conoce como la Regla de Sarrus.

Ejemplo:

ejemplo regla de Sarrus


Determinante de dimensión nxn: Laplace

Sea A una matriz de dimensión nxn, entonces es de la forma

matriz

donde ai , j es el elemento de la fila i y la columna j.

A la matriz que resulta al quitarle a A la fila r y la columna s la denotamos por

submatriz

Se define el desarrollo de Laplace por la fila i de A como

desarrollo por Laplace por la fila i

y por la columna j de A como

desarrollo por Laplace por columna j

Ejemplo: Desarrollo de Laplace por la fila 1 de una matriz de dimensión 3

ejemplo teórico del desarrollo por Laplace de una matriz de dimensión 3x3



3. Propiedades de la función determinante

Todas las propiedades se pueden demostrar fácilmente aplicando el desarrollo de Laplace.

Sean A y B dos matrices cuadradas de dimensión n

  • Determinante del producto

    determinante del producto

  • Si A tiene una o más filas (o columnas) nulas

    determinante igual a cero

  • Si B es el resultado de multiplicar una fila de A por a

    propiedad del determinante

  • Si B es el resultado de multiplicar s filas de A por a

    propiedades del determinante

  • Si B es el resultado de cambiar el orden a una fila (o columna) de A

    propiedades de los determinantes

  • Si B es el resultado de cambiar el orden de s filas (y/o columnas) de A

    propiedad de los determinantes

  • Si A es regular

    determinante de una matriz regular

  • Determinante de la traspuesta

    determinante de la traspuesta

  • Sean B una matriz igual que A excepto la fila k y C una matriz nula excepto la fila k, que es la misma que la fila k de B

    determinante de la suma de matrices

    En matrices de dimensión 3 se resume como

    descomposición de determinante como suma

  • Si B es la matriz que resulta al sumar a una fila de A otra fila multiplicada por un escalar (operación elemental fila)

    determinante de una matriz tras una operación elemental fila

  • Si A tiene dos o más filas proporcionales (filas linealmente dependientes)

    determinante de una matriz con filas dependientes


4. Rango y menores de una matriz

Definición de menor

Sea A de dimensión m x n , llamamos menor de orden k siendo

$$k ≤ min \{ m, n \}$$

a los determinantes de las submatrices cuadradas de A de dimensión k.

Propiedades muy útiles en la práctica:

  • Si existe algún menor de orden k no nulo, el rango de la matriz es AL MENOS k.

  • Si todos los menores de orden k son nulos, el rango de la matriz es ESTRICTAMENTE MENOR que k.


Menores principales

Llamamos

submatriz A_k

a la matriz de dimensión k x k formada por los k primeros elementos de las k primeras filas de A.

Definimos menor principal k siendo

$$ k ≤ min \{ m , n \} $$

como

menor principal de orden k


Definición de Rango

Sea A una matriz (cuadrada o no), llamamos rango de A y lo representamos por r(A), rank(A) ó rg(A) a:

  • Número de filas independientes.

  • Número de unos principales de la matriz en forma escalonada reducida.

  • El número de filas no nulas de la matriz en forma escalonada reducida.

  • El orden máximo de los menores no nulos.

Los números de los puntos anteriores coinciden.


Propiedades del rango

  • El rango es el mismo para matrices equivalentes.

  • El rango de una matriz cuadrada de dimensión n es n si, y sólo si, la matriz es regular.


5. Teorema de Rouché-Frobenius

Los sistemas lineales se pueden expresar mediante sistemas matriciales: una matriz coeficientes, A; una matriz de términos independientes que es una matriz columna, B; y una matriz incógnita, también columna, X.

Sea A la matriz de coeficientes del sistema, de dimensión m x n, y B la matriz de términos independientes.

Definimos la matriz ampliada del SEL como

Tenemos el siguiente teorema que nos relaciona las soluciones del SEL con el rango de la matriz ampliada:

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea A·X = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos):

  • A·X = B es compatible si, y sólo si, rango( A ) = rango ( A | B ).
  • A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango( A ) = n = rango( A | B ).
  • Ver demostración.



Enlaces relacionados:

  1. Ejercicios resueltos de cálculo de determinantes

  2. Ejercicios resueltos de la Regla de Cramer

  3. Demostración de teorema de Rouché-Frobenius

  4. Ejercicios resueltos de Eliminación de Gauss


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