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Matrices especiales

Listado de matrices: identidad, diagonal, triangular, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante, Hessenberg y Vandermonde.

1. Introducción

El uso de las matrices es esencial en las matemáticas, tanto que se utilizan en prácticamente todas sus disciplinas. Por esta razón, existen propiedades y teoremas para matrices con una determinada forma. Por ejemplo, el algoritmo de un ordenador que resuelve un sistema de ecuaciones puede ser mucho más eficiente si la matriz es triangular, y todavía más, si la matriz es diagonal.

En esta página vamos a numerar algunos de los tipos de matrices más importantes y algunas de sus propiedades. Algunas de las propiedades se demuestran en la página: problemas teóricos de matrices.

Notación: Dada una matriz \(A\) de dimensión \(mxn\), denotamos el elemento de la fila \(i\) y columna \(j\) como \(a_{i,j}\) ó \(a_{ij}\), siendo \(1\leq i\leq m\) y \(1\leq j\leq n\). Para simplificar, escribiremos \(A = ({a_{ij}})\).

Recordad también:

Una matriz de dimensión \(nxn\) (mismo número de filas que de columnas) es una matriz cuadrada de dimensión \(n\).

Si el número de filas y el de columnas son distintos, la matriz es rectangular.

2. Matriz identidad

La matriz identidad de dimensión \(n\), \(I_n\), es la matriz de dimensión \(nxn\) formada por 1's en la diagonal principal y 0's en las restantes posiciones.

Clasificación de las matrices según su forma en identidad, diagonal, bidiagonal, tridiagonal, triangular, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante, Hessenberg y Vandermonde. Con propiedades y ejemplos. Álgebra matricial. Matrices.

Es decir, la matriz identidad es la matriz cuadrada \(A = (a_{ij})\) con \(a_{ij}=1\) si \(i=j\) y \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\).


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  • Es el neutro del producto matricial. Es decir, para toda matriz \(A\) de dimensión \(mxn\),

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  • Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma:

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  • Es regular y su matriz inversa es ella misma:

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  • Es una matriz permutación.

  • Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.



3. Matriz diagonal

Una matriz \(A = (a_{ij})\) es diagonal cuando los elementos que no están en la diagonal son 0. Es decir, \(a_{ij}=0\) si \(i\neq j\).

Por ejemplo,

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La matriz identidad es una matriz diagonal.

Normalmente, las matrices diagonales se escriben indicando su diagonal. Por ejemplo, las matrices anteriores son

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Podemos indicar la dimensión si puede dar lugar a confusión:

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Sea la matriz \(A = (a_{i,j})\). Llamamos diagonal principal o diagonal 0 al vector formado por los elementos \(a_{i,i}\).

Análogamente, llamamos diagonal \(k> 0\) al vector formado por los elementos \(a_{i,i+k}\). Y diagonal \(-k\) al formado por los elementos \(a_{i,i-k}\).

Matriz bidiagonal:

  • Una matriz \(A\) es bidiagonal superior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal 0 son 0's.

    Por ejemplo,

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  • Una matriz \(A\) es bidiagonal inferior si sus todos los elementos por encima de la diagonal 0 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.

    Por ejemplo,

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Matriz tridiagonal:

Una matriz \(A\) es tridiagonal si sus todos los elementos por encima de la diagonal 1 y por debajo de la diagonal -1 son 0's.

Por ejemplo,

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Las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son casos particulares de las matrices banda.


4. Matriz triangular

Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\),

  • Es una matriz triangular superior si tiene 0's por debajo de la diagonal, es decir, si \(a_{ij} = 0\) para \(i> j\).

    Por ejemplo,

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  • Es una matriz triangular inferior si tiene 0's por encima de la diagonal, es decir, si \(a_{ij} = 0\) para \(i< j\).

    Por ejemplo,

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5. Matriz traspuesta

La matriz traspuesta de una matriz \(A\) de dimensión \(mxn\) es una matriz de dimensión \(nxm\) que tiene por columnas a las filas de \(A\). Se denota como \(A^T\) (o \(A'\) si la matriz es real).

Por ejemplo,

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6. Matriz adjunta

Sea \(A\) una matriz de dimensión \(mxn\). Su matriz adjunta es la matriz de dimensión \(mxn\) definida por \(Adj(A) = (ad_{ij})\) siendo

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donde \(A^{i,j}\) es la matriz resultante al eliminar la fila \(i\) y columna \(j\) de \(A\).

Al elemento \(ad_{ij}\) se le llama \((i,j)-\)cofactor (o adjunto) de la matriz \(A\).

Por ejemplo,

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7. Matriz simétrica

Una matriz \(A\) es simétrica si es igual a su traspuesta, es decir, \(A = A^T\). Como consecuencia de la definición, la matriz \(A\) tiene que ser cuadrada.

Por ejemplo,

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8. Matriz antisimétrica

Una matriz \(A\) es antisimétrica si es la matriz opuesta de su traspuesta, es decir, \(A = -A^T\). Como consecuencia de la definición, la matriz \(A\) tiene que ser cuadrada.

Por ejemplo,

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9. Matriz definida positiva

Una matriz \(A\) de dimensión \(mxn\) es definida positiva si para todo vector \(x = ( x_1 ,..., x_n )\) se cumple

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Si se cumple con la desigualdad \(\geq \), diremos que la matriz es semi definida positiva.


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10. Matriz diagonalmente dominante

Una matriz \(A = (a_{ij})\) cuadrada de dimensión \(n\) es diagonalmente dominante por filas (RDD) si

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Por ejemplo,

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Una matriz \(A = (a_{ij})\) cuadrada de dimensión \(n\) es diagonalmente dominante por columnas (CDD) si

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Por ejemplo,

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Si se cumple con el signo estricto, diremos estrictamente diagonalmente dominante por filas o columnas. Los ejemplos son estrictamente.


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11. Matriz Hessenberg

Una matriz cuadrada \(A\) de dimensión \(n> 1\) es Hessenberg superior si todos los elementos bajo la diagonal -1 son nulos.

Por ejemplo,

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Una matriz cuadrada \(A\) de dimensión \(n> 1\) es Hessenberg inferior si todos los elementos sobre la diagonal 1 son nulos.

Por ejemplo,

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12. Matriz Vandermonde

Una matriz cuadrada \(A = (a_{ij})\) es de Vandermonde si \(a_{ij} = \alpha_i ^{j-1}\).

Si es de dimensión 3, tiene la forma

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Ejemplo de una matriz Vandermonde de dimensión 4:

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