Matrices Especiales

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Matriz Identidad

  • Matriz Diagonal

  • Matriz Triangular

  • Matriz Traspuesta

  • Matriz Adjunta

  • Matriz Simétrica

  • Matriz Antisimétrica

  • Matriz Definida Positiva

  • Matriz Diagonalmente Dominante por Filas (o Columnas)

  • Matriz Hessenberg



Introducción

La importancia de las matrices en álgebra es conocida y existen numerosos teoremas que las caracterizan o que las emplean como herramienta. Pero además, si trabajamos con matrices especiales, esto es, con matrices que cumplen determinadas características, obtenemos otros resultados interesantes o importantes por sus aplicaciones. Veamos un ejemplo:

Dada la matriz regular A de dimensión n x n tiene todos los menores principales no singulares, entonces admite una factorización LU. En este caso, para resolver computacionalmente el sistema

$$Ax=b$$

se necesitan

$$\frac{2}{3}n^3$$

operaciones en punto flotante, mientras que si usamos la descomposición QR se necesitan

$$\frac{4}{3}n^3$$

Es decir, usando la descomposición LU se requiere la mitad de operaciones respecto la descomposición QR.

En esta sección presentamos los tipos básicos de matrices según su forma (definición y propiedades inmediatas): identidad, diagonal, traspuesta, adjunta, simétrica, antisimétrica, definida positiva, diagonalmente dominante y Hessenberg.


Matriz identidad

Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por In donde n es la dimensión de la matriz.

matriz identidad

Propiedades:

  • Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz A de dimensión m x n,

  • Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma

    matriz idempotente

  • Es regular y su inversa es ella misma.

  • Es una matriz permutación.

  • Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

Notaciones habituales:

delta de Kronecker


Matriz diagonal

Todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal, esto es, los elementos que tienen el mismo número de fila que de columna.

Una matriz A diagonal de dimensión m x n que tiene por elementos de la diagonal a los elementos del vector v se le denota por

Ejemplos

Propiedades:

  • Son un caso particular de las matrices triangulares.

  • La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.

  • En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

    con lo que son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

  • Potencias (para las cuadradas)

  • Producto de matrices diagonales: Sean las matrices A y B diagonales de dimensiones respectivas m x n y n x t, su producto es una matriz diagonal de dimensión m x t

  • Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.


Matrices triangulares

Distinguimos dos tipos:

  • triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal de la matriz son 0, es decir,

    definicion triangular superior

  • triangular inferior: todos los elementos por arriba de la diagonal de la matriz son 0, es decir,

    definicion triangular inferior

Ejemplos
Triangular superior Triangular inferior
ejemplo triangular superior ejemplo triangular inferior

Propiedades de las matrices triangulares

  • La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.

  • Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal

    propiedades matrices triangulares

    Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,

    propiedades matrices triangulares

  • La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).

  • El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).

  • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.


Matriz traspuesta

La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n es una matriz de dimensión n x m que tiene por columnas a las filas de A. Se denota como AT (o A' si la matriz es real).

definición matriz traspuesta

Ejemplos
ejemplo matriz traspuesta

Propiedades de la matriz traspuesta

  • Traspuesta de la traspuesta

    propiedades matriz traspuesta

  • Traspuesta de la suma

    propiedades matriz traspuesta

  • Traspuesta del producto

    propiedades matriz traspuesta

  • Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica

    propiedades matriz traspuesta

  • El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta

    propiedades matriz traspuesta


Matriz adjunta

Sea A una matriz de cuadrada de dimensión n

matriz adjunta

se define su matriz adjunta como

matriz adjunta

donde Ai , j es la matriz que resulta al quitar la fila i y columna j a A.

Al elemento ad i , j se le denomina ( i , j )- cofactor (o adjunto) de la matriz A.

Propiedades de la matriz adjunta:

  • Adjunta de la identidad

    propiedades matriz adjunta

  • Adjunta de la traspuesta

    propiedades matriz adjunta

  • Adjunta del producto

    propiedades matriz adjunta

  • Si A es de dimensión n y k un escalar

    propiedades matriz adjunta

  • Si A es regular, su inversa es

    propiedades matriz adjunta

    Esta propiedad se usa con frecuencia para el cálculo de la inversa: ejemplos.

Ejemplo de matriz adjunta
ejemplo de matriz adjunta

Matriz simétrica

Una matriz A cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta. Es decir,

matriz simétrica

Ejemplo
matriz simétrica

Propiedades de las matrices simétricas

  • La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.

  • La adjunta de una simétrica es simétrica.

  • La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.

  • Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.

  • Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.

  • Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir,

    matriz simétrica



Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada A es antisimétrica si es igual a la opuesta de su adjunta, es decir

matriz antisimétrica


Matriz definida positiva

Una matriz A de dimensión m x n es definida positiva si para todo vector x = ( x1 ,…, xn ) se cumple

matriz definida positiva

Si la desigualdad se cumple con el signo ≥ , diremos que es semi definida positiva.


Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas

Una matriz A de dimensión m x n es diagonalmente dominante por filas si

matriz diagonalmente dominante

diremos que los es por columnas si

matriz diagonalmente dominante

Diremos que los son estrictamente si la desigualdad se cumple de forma estricta: >.


Matriz Hessenberg

Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg superior si todos los elementos por debajo de la diagonal -1 son nulos. Recordamos que la diagonal -k es la diagonal número k por debajo de la diagonal (principal).

Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg inferior si todos los elementos por arriba de la diagonal -1 son nulos. Recordemos que la diagonal k es la diagonal número k por arriba de la diagonal (principal).

Ejemplos
Hessenberg superior
matriz Hessenber
Hessenberg inferior
matriz Hessenber


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