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Matriz inversa (teoría)

En esta página hablaremos únicamente de la matriz inversa, pero desde una perspectiva más teórica. Podéis encontrar ejemplos prácticos de la obtención de la matriz inversa en:

Contenido de esta página:

  1. Definición de matriz inversa
  2. Unicidad de la inversa
  3. Propiedades de la inversa
  4. Métodos para la obtención de la matriz inversa
  5. Caracterización de matrices regulares

Nota previa: sólo escribiremos el punto del producto matricial · en ocasiones para enfatizar la operación.


1. Definición de inversa

Nota: Recordad que si una matriz es de dimensión \(nxn\), diremos que es una matriz cuadrada de dimensión \(n\). Si, por el contrario, el número de filas y de columnas no es el mismo, diremos que es una matriz rectangular.

Sea \(A\) una matriz cuadrada de dimensión \(n\), decimos que la matriz \(B\) es una matriz inversa de \(A\) si se cumplen

Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.

siendo \(I_n\) la matriz identidad de dimensión \(n\).

De la definición se sigue que la dimensión de \(B\) tiene que ser también \(nxn\) (para poder calcular los productos matriciales por ambos lados).

Durante el texto, veremos que realmente sólo existe una matriz inversa y que, si se cumple una de las dos igualdades anteriores, entonces también se cumple la otra. Como dicha matriz es única, la denotamos por \(A^{-1}\) y la llamamos la inversa de \(A\).

Ver ejemplos

No todas las matrices cuadradas tienen inversa. Si una matriz \(A\) tiene inversa, decimos que \(A\) es regular o invertible (o inversible). En caso contrario, decimos que es singular.

Por ejemplo, es fácil ver que la matriz nula (matriz de 0's) no tiene inversa.

Nota: en el caso de las matrices rectangulares, existe el concepto de matriz inversa por la derecha o por la izquierda. Tened en cuenta que, para multiplicar por uno u otro lado, las dimensiones tienen que ser las apropiadas, así que algunas matrices rectangulares tienen inversas distintas por cada lado o solo tienen inversa por un lado.

2. Unicidad de la matriz inversa

Como ya hemos adelantado anteriormente, la inversa de una matriz es única:

Teorema:

Sea \(A\) una matriz regular de dimensión \(n\), entonces sólo tiene una matriz inversa.


Ver demostración

Como la matriz inversa de una matriz \(A\) es única, podemos darle nombre propio: \(A^{-1}\).

3. Propiedades de la matriz inversa

Sean \(A\) y \(B\) dos matrices regulares de dimensión \(n\), entonces:

  • La matriz inversa de \(A\), \(A^{-1}\), es regular y su inversa es \(A\):

    Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.

  • Inversa del producto de matrices:

    Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.

  • Inversa de la matriz traspuesta:

    Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.

Ver demostración

El producto de matrices regulares es una matriz regular.

La demostración es consecuencia directa del apartado 2: el producto de dos matrices regulares es una matriz regular porque existe la inversa del producto.

4. Obtención de la matriz inversa

Existen diversos métodos para el cálculo de la matriz inversa. Los más utilizados son:

5. Caracterización de matrices regulares

Destacamos las dos siguientes caracterizaciones de la matriz inversa, aunque, sin duda, la segunda de ellas (Teorema 2) es la más importante. También veremos un corolario interesante.


Teorema 1

Sea \(A\) una matriz de dimensión \(n\). Las siguientes condiciones son equivalentes (ocurren todas las condiciones simultáneamente o ninguna de ellas):

  1. La matriz \(A\) es regular (invertible).
  2. Todo sistema de ecuaciones lineales (SEL) con matriz de coeficientes \(A\) (es decir, \(AX=b\)) es compatible determinado.
  3. El SEL homogéneo \(AX=0\) es compatible determinado.
  4. La forma escalonada de \(A\) es la matriz identidad \(I_n\).
  5. La matriz \(A\) es producto de matrices elementales.

Ver demostración

Dada una matriz \(A\), el producto por ambos lados por su inversa debe ser la identidad. El siguiente corolario afirma que es suficiente con que se cumpla para un lado, es decir,

Corolario

Sean \(A\) y \(B\) dos matrices cuadradas. Si \(BA=I_n\) ó \(AB=I_n\), entonces \(A\) es invertible y su inversa es \(A^{-1}=B\).

Además, se tiene que \(B\) es invertible y su inversa es \(B^{-1}=A\).


Ver demostración

Teorema 2

Una matriz \(A\) es regular (tiene inversa) si, y solamente si, su determinante es distinto de 0:

Es decir,

Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.

Ver demostración

Ver ejemplo

Sean las matrices

Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.

Sus determinantes son

Teoría sobre la matriz inversa: definición, demostración de la unicidad de la matriz inversa, propiedades básicas de la matriz inversa y dos caracterizaciones de matrices invertibles, entre las que destacan que una matriz es invertible si y solamente si su determinante es distinto de 0. Álgebra matricial. Matrices.





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