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Definición
Unicidad
Propiedades
Métodos
Caracterizacion

Matrices: matriz inversa




Definición de inversa

Dada una matriz cuadrada A de dimensión n, diremos que es regular (o inversible) si existe una matriz de la misma dimensión, B, que cumple

donde es la matriz identidad de dimensión n.

Si no existe tal matriz B, diremos que A es singular (o inversible).

En caso de existir B, es única (demostración), por lo que la llamaremos inversa de A y la denotaremos por

NO todas las matrices cuadradas son regulares.

Una matriz es regular si, y sólo si, su determinante no es 0. Demostración

Nota: En la definición han de cumplirse las dos igualdades, si no, se trata de inversas laterales.

Métodos de obtención de la inversa.


Ejemplos    Más ejemplos

Unicidad de la inversa

Si una matriz de dimensión n, A tiene inversa, B, ésta es única.

Demostración:

Supongamos que B no es única, es decir, existe al menos otra matriz, C, que es inversa de A.

Por definición, se cumple

Preultiplicando (multiplicando a la izquierda) por B en ambos lados de la última igualdad, usando la asociatividad del producto de matrices y teniendo en cuenta la definición de inversa:

Lo que prueba la unicidad. Al ser única, la llamamos inversa de A.





Propiedades de la inversa

Sean las matrices A y B regulares (con inversa) de dimensión n. Se cumplen:

  • La inversa A, A - 1 es regular y su inversa es A.

    Se deduce directamente de las propiedades que cumple la inversa por ser inversa.

  • Inversa del producto:

    Multiplicando ambas matrices a ambos lados y usando la aosiciatividad del producto obtenemos las igualdades

    De donde se deduce el resultado.

  • Inversa de la traspuesta, A T

    Usamos que la traspuesta de la identidad es la identidad y las propiedades de la traspuesta:




Métodos para la obtención de la matriz inversa

Método 1

El método consiste en encontrar la matriz en forma escalonada reducida.

Sea A una matriz regular de dimensión n.

Consideremos la matriz de dimensión n x (2n)

El método consiste en realizar operaciones elementales fila a la matriz hasta obtener en el primer bloque (donde se encuentra A) la forma escalonada reducida de A , FER(A).

Una vez logrado, en el segundo bloque (donde inicialmente teníamos la identidad) estará la inversa de A. Es decir, tendremos

Justificación:

Sabemos que la forma escalonada reducida de A se obtiene premultiplicando A por una matriz elemental E, es decir, E·A = FER(A). Además, puesto que A es regular, su FER es la identidad (caracterización de matrices regulares).


Método 2

Consiste simplemente en aplicar la fórmula

donde el exponente T indica matriz traspuesta y Adj(·) indica adjunción.

Ejericios resueltos



Caracterización de matrices regulares

Dos importantes caracterizaciones de matriz regular son: