Matrices y Sistemas de Ecuaciones (Teoría)

Contenido de esta página:

  • Introducción

  • Definición de SEL y su representación matricial

  • Tipos de SEL

  • Solución de un SEL y tipos de soluciones

  • Método de Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan

  • Método de la Inversa

  • Regla de Cramer

  • Teorema de Rouché-Frobenius


Introducción

Esta sección es una introducción al estudio algebraico de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Veremos el concepto de un SEL como un sistema matricial (matriz de coeficientes y matriz o vector de términos independientes).

La importancia de esta área radica en que las matrices constituyen una herramienta que nos permite saber rápidamente si un sistema de ecuaciones tiene soluciones y el tipo de soluciones: un sistema puede no tener solución, tener una única solución o tener infinitas soluciones.

Una vez clasificado el SEL, queremos calcular, en caso de haberlas, sus soluciones. Para ello disponemos de varios métodos: la Regla de Cramer y el de la matriz inversa si el SEL es compatible determinado, y la eliminación de Gauss o de Gauss-Jordan si es indeterminado.

Finalmente, veremos el teorema de Rouché-Frobenius, que es el resultado que nos permite clasificar un SEL según el tipo de solución a partir de su matriz ampliada (matriz de coeficientes con el vector de términos independientes).

Para poder comprender el texto se requiere comprender los conceptos relacionados con las matrices: matrices regular, inversa y adjunta y el rango de una matriz. Podemos encontrar ejercicios resueltos de los métodos citados en:


Definición de Sistema de Ecuaciones Lineales (SEL) y matrices

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (SEL) y coeficientes en un cuerpo K (como los reales o los complejos) es

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

donde

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

A los elementos ai , j se les denomina coeficientes del SEL y a los bi términos independientes.

Un ejemplo de un SEL de dos ecuaciones y dos incógnitas es

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

El sistema de la definición lo podemos expresar matricialmente como

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

donde

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

llamamos matriz de coeficientes a la matriz A, matriz de términos independientes a b y matriz incógnita a X.

Definimos la matriz ampliada (o completa) del sistema como la matriz compuesta por la matriz A a la izquierda y la b a la derecha, es decir

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

Veamos un ejemplo:

sistemas de ecuaciones lineales, matrices


Tipos de SEL según sus elementos

Los SEL

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

los clasificamos según su

  • dimensión

    • dimensión cuadrada: si m = n (tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas). La matriz de coeficientes es cuadrada de dimensión m.

    • dimensión rectangular: si m ≠ n (no tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas).La matriz de coeficientes es rectangular (dimensión m x n).

  • matriz de términos independientes

    • Sistema homogéneo (SELH): los términos independientes son 0, es decir, b es la matriz columna de ceros.

    • Sistema completo (SELC) o no homogéneo: los términos independientes no son todos 0, es decir, b no es la matriz columna de ceros.

  • forma
    • Triangular superior: la matriz de coeficientes, A, es triangular superior.
    • Triangular inferior: la matriz de coeficientes, A, es triangular inferior.

Soluciones de un SEL

Dado un SEL

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

llamamos solución a cualquier vector

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, matrices

que al ser sustituido en el sistema, lo cumple. Es decir, los valores de las incógnitas para los cuales se verifican todas las ecuaciones del SEL.

Importante

Si un vector X es solución del SEL

también es solución del SEL que se obtiene al realizar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL inicial, A*. Este hecho será la clave para obtener los métodos de resolución de un SEL.


Tipos de soluciones de un sistema de ecuaciones

Distinguimos tres tipos de sistemas según el conjunto de soluciones que tiene:

  • Sistema incompatible (SI): el sistema no tiene solución. No existen valores para las incógnitas de modo que se verifiquen todas y cada una de las ecuaciones que conforman el SEL.

  • Sistema compatible (SC): existe al menos una solución que verifica todas las ecuaciones del SEL. Pero distinguimos dos casos:

    • Sistema compatible determinado (SCD): existe una solución y es única, es decir, sólo hay una.

      En el caso de los SEL homogéneos, la única solución es la trivial (todas las incógnitas valen 0). Esto se debe a que la solución trivial siempre es solución del SEL homogéneo. De este modo, un SEL homogéneo nunca será incompatible.

    • Sistema compatible indeterminado (SCI): existe más de una solución. En este caso, existen infinitas soluciones (ya que el conjunto de soluciones de un SEL es un espacio vectorial). Alguna variable (o todas) dependerán de un (o más) parámetros.


Métodos de resolución de los SEL

Destacamos 3 métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que explicamos más adelante:

  • Eliminación de Gauss: consiste en realizar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL hasta obtener su forma escalonada reducida. Ejercicios de Eliminación de Gauss

  • Matriz inversa: consiste en multiplicar el sistema, si es compatible determinado, por la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

  • Regla de Cramer: obtenemos las incógnitas, en el caso de SEL compatible determinado, aplicando una sencilla regla que usa determinantes. Ejercicios de la Regla de Cramer


Método de eliminación de Gauss

Enlace: Ejercicios resueltos de Eliminación de Gauss

Se basa en el hecho de que si un vector X es solución del SEL

también es solución del SEL que se obtiene al aplicar operaciones elementales fila a la matriz ampliada del SEL inicial, A*.

Lo que nos permite trabajar con matrices equivalentes para facilitar la búsqueda de las soluciones.

El método consiste en realizar operaciones elementales en la matriz ampliada hasta obtener su forma

  • escalonada (eliminación de Gauss)
  • escalonada reducida (eliminación de Gauss-Jordan)

Veamos un ejemplo:

Ejemplo

1

Eliminación de Gauss (click para ver)

2

Eliminación de Gauss-Jordan (click para ver)


Método de la inversa

Sea el SEL

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

Supongamos que el sistema es cuadrado, esto es, m = n.

El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A-1:

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

y obtenemos la solución.

Este método se utiliza bastante en computación.

Ejemplo

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

1

Solución (click para ver)



Método de la Regla de Cramer

Enlace: Ejercicios resueltos de la Regla de Cramer

Sea un SEL de dimensión cuadrada (mismo número de ecuaciones que de incógnitas)

Si la matriz de coeficientes del SEL, A, es regular y, por tanto, el sistema es compatible determinado, la Regla de Cramer proporciona directamente la solución del sistema mediante el cálculo de determinantes:

Si xi es la incógnita correspondiente a la columna i del sistema, su valor en la solución es

donde A(i) es la matriz que resulta al sustituir en A la columna i por la columna de términos independientes, b, es decir

Ejemplo

sistemas de ecuaciones lineales, matrices

1

Solución (click para ver)


Teorema de Rouché-Frobenius

El teorema de Rouché-Frobenius es uno de los más importantes del Álgebra, al menos en cuanto a aplicaciones prácticas, ya que los SEL se utilizan en multitud de disciplinas y este resultado nos permite clasificar los SEL según el tipo de solución.

El enunciado del teorema es el siguiente:

Sea A·X = B un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (sobre un cuerpo en general), siendo m y n naturales (no nulos). Entonces,

  • A·X = B es compatible si, y sólo si, rango( A ) = rango ( A | B ).

  • A·X = B es compatible determinado si, y sólo si, rango( A ) = n = rango( A | B ).

Podemos encontrar aquí la demostración del Teorema de Rouché-Frobenius.



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