Método de la inversa para resolver sistemas

Contenido de esta página:

1. Introducción
2. Método de la inversa para resolver sistemas
3. Ejemplos

Existen multitud de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Los más utilizados en el álgebra matricial son la eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan y la regla de Cramer. En los dos primeros, tenemos que realizar operaciones elementales fia. En el tercero, tenemos que calcular algunos determinantes.

Otro método para resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado (con una única solución) es multiplicar la matriz de coeficientes por su inversa.

Páginas relacionadas:

• Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan
• Regla de Cramer
• Inversa mediante adjunta
• Inversa mediante Gauss
• Teorema de Rouché-Frobenius

Supongamos que tenemos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas. Podemos representar el sistema de forma matricial como

donde

• La matriz \(A\) es de dimensión \(nxn\) y contiene en cada fila los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.
• La matriz \(x\) es de dimensión \(nx1\) (una columna) y contiene las \(n\) incógnitas del sistema.
• La matriz \(b\) es de dimensión \(nx1\) y contiene los términos independientes de las ecuaciones.

Si el sistema tiene una única solución (es compatible determinado), entonces la matriz \(A\) es regular (determinante distinto de 0) y, por tanto, existe su matriz inversa \(A^{-1}\).

Entonces, podemos multiplicar toda la ecuación por la inversa de \(A^{-1}\):

Es decir, si la matriz \(A\) es regular, entonces la matriz columna resultante del producto matricial \(A^{-1}·b\) contiene la solución del sistema \(Ax=b\).

En esta página vamos a ver 3 ejemplos de este método.

Sistema 1

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2x2)

Sistema 2

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (3x3)

Sistema 3

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas (3x3)

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